Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若是橢圓的左頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，求與的面積之差的絕對(duì)值的最大值.（為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

【答案】（I）；（II）

【解析】試題分析：（1）首先由離心率的概念可得，然后由長(zhǎng)軸長(zhǎng)可得的值，進(jìn)而可得出所求的結(jié)果；（2）首先設(shè)的面積為， 的面積為，并分兩類(lèi)討論：直線斜率不存在和直線斜率存在，分別聯(lián)立直線與橢圓的方程并表達(dá)出，然后結(jié)合基本不等式求解其最大值即可得出所求的結(jié)果.

試題解析：（1）由題意得，又，則，所以.

又，故橢圓的方程為.

（2）設(shè)的面積為， 的面積為.

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)不妨設(shè)， ，且， 面積相等， .

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)， ，

和橢圓方程聯(lián)立得，消掉得.

顯然，方程有根，且.

此時(shí).

因?yàn)?/span>，所以上式（時(shí)等號(hào)成立）.

所以的最大值為.