Question

【題目】某學(xué)校為進(jìn)行“陽光運(yùn)動(dòng)一小時(shí)”活動(dòng)，計(jì)劃在一塊直角三角形的空地上修建一個(gè)占地面積為（平方米）的矩形健身場地。如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且點(diǎn)在斜邊上，已知米，米，，設(shè)矩形健身場地每平方米的造價(jià)為元，再把矩形以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價(jià)為元（為正的常數(shù)）.

（1）試用表示，并指出如何設(shè)計(jì)矩形的長和寬，才能使得矩形的面積最大，且求出的最大值；

（2）求總造價(jià)關(guān)于面積的函數(shù)，說明如何選取，使總造價(jià)最低（不要求求出最低造價(jià)）.

Answer 1

【答案】(1) ，，當(dāng)米，米時(shí)，才能使得矩形的面積最大且最大值為平方米.

(2) ，，當(dāng)或18米時(shí)，使總造價(jià)最低.

【解析】

（1）在△中，求出,利用即可求出解析式，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解；

（2）求出△的面積，即可表示出陰影部分的面積，結(jié)合題意即可求出總造價(jià)的解析式，結(jié)合基本不等式求最值，即可求解.

(1)在△中，，所以，.根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，有最大值為，所以當(dāng)米，米時(shí)，才能使得矩形的面積最大且最大值為平方米.

（2）在△中，，所以△的面積為，則矩形健身場地的造價(jià)為，草坪的造價(jià)為，所以總造價(jià)關(guān)于面積的函數(shù)，由（1）知，，故，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，令或18，所以當(dāng)或18米時(shí)，使總造價(jià)最低.