Question

（本題滿分15分）設(shè)橢圓 C₁：（）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線 C₂： 的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂ 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率 ，過橢圓右焦點(diǎn) F₂ 的直線  與橢圓 C 交于 M，N 兩點(diǎn)．

（I）求橢圓C的方程；

（II）是否存在直線 ，使得 ，若存在，求出直線  的方程；若不存在，說明理由；

（III）若 AB 是橢圓 C 經(jīng)過原點(diǎn) O 的弦，MN//AB，求證： 為定值．

 

Answer 1

【答案】

橢圓的頂點(diǎn)為，即

，解得，   橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 …… 3分

（2）由題可知,直線與橢圓必相交.

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意．

②設(shè)存在直線為，且，.

由得，  

，，

   = 

所以，故直線的方程為或 …………9分

（3）設(shè),

由（2）可得：  |MN|=

                      =.

由消去y，并整理得： ，

|AB|=，∴  為定值  … 15分

 

【解析】略