Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，x∈[

1

2

，2]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)特殊函數(shù)y=+x

1

x

的單調(diào)性得到所求函數(shù)在[1，2]上的增減性，即可求出其值域；
（Ⅱ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，討論a和0的大小關(guān)系，找到導(dǎo)函數(shù)值為正和為負(fù)對應(yīng)的區(qū)間，即可得到其單調(diào)性；
（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在[

1

4

，1]上的最大值為f(

1

4

)與f（1）的較大者，問題轉(zhuǎn)化為f（x）在[

1

4

，1]上的最大值小于等于10恒成立；讓f(

1

4

)與f（1）都小于等于10即可求出b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=x+

1

x

+1
根據(jù)特殊函數(shù)y=+x

1

x

的單調(diào)性得：函數(shù)在[

1

2

，1]上遞減，在[1，2]上遞增；
而 f（1）=3，f（

1

2

）=f（2）=

7

2

所以：f（x）∈[3，

7

2

]，
（Ⅱ）解：f′(x)=1-

a

x2

．
當(dāng)a≤0時，顯然f'（x）＞0（x≠0）．這時f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上內(nèi)是增函數(shù)．
當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，解得x=±

a

．
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	(-∞，- a )	- a	(- a ，0)	(0， a )	a	( a ，+∞)
f'（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以f（x）在(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(-

a

，0)，（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f（x）在[

1

4

，1]上的最大值為f(

1

4

)與f（1）的較大者，
對于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)

f( 1 4 )≤10 f(1)≤10

，即

b≤ 39 4 -4a b≤9-a

，對任意的a∈[

1

2

，2]成立．
從而得b≤

7

4

，所以滿足條件的b的取值范圍是(-∞，

7

4

]．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及恒成立問題．考查計算能力和分析問題的能力以及分類討論思想的應(yīng)用．