Question

已知曲線C：

x=2cosθ y=3+2sinθ

(θ∈R)，一動直線l過A（-1，0）與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，M為P，Q中點(diǎn)，l與直線x+3y+6=0相交于N，則|AM|•|AN|=

5

．

Answer 1

分析：設(shè)連接CA并延長交直線x+3y+6=0相交于G，可得CG⊥NG，由垂徑定理得CM⊥PQ，可得△AGN∽△AMC，將比例線段轉(zhuǎn)化為等積式，得|AM|•|AN|=|AC|•|AG|=5．

解答：解：把曲線C：

x=2cosθ y=3+2sinθ

(θ∈R) 消去參數(shù)θ化為普通方程為 x²+（y-3）²=4．  
設(shè)連接CA并延長交直線x+3y+6=0相交于G，連接CM可得AC的斜率為kAC=

3-0

0+1

=3．
∵直線x+3y+6=0的斜率為K1=-

1

3

，kAC•k1=3×（-

1

3

）=-1，

∴直線AC與直線x+3y+6=0垂直．

又∵圓C中，M為弦PQ的中點(diǎn)，∴CM⊥PQ，

因此△AGN∽△AMC，可得

AC

AN

=

AM

AG

，∴|AM|•|AN|=|AC|•|AG|．
又∵|AC|=

(-1-0)2+(3-0)2

=

10

，AG=

|-1+3×0+6|

10

=

10

2

，
∴|AC|•|AG|=

10

×

10

2

=5，
故答案為 5．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題，利用垂徑定理得到三角形相似是解決本題的關(guān)鍵．