Question

如圖，過拋物線x²=4y的對稱軸上任一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
（I）若，證明：；
（II）在（I）條件下，若點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)，證明：；
（III）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量相等，即可證明；
（II）依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入拋物線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的稱點(diǎn)，故點(diǎn)Q（0，-m），從而，進(jìn)而得到，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其數(shù)量積運(yùn)算即可得出=0即可證明．
（III）直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立即可解得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)即可切線的斜率，再利用圓的切線的性質(zhì)及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可解得．
解答：解：（I）∵，∴-x₁=λx₂，（x₂≠0），即．
（II）依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
代入拋物線方程x²=4y得x²-4kx-4m=0 ①
∵直線與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
∴x₁x₂=-4m．
點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的稱點(diǎn)，
故點(diǎn)Q（0，-m），從而，
∴=（x₁，y₁+m）-λ（x₂，y₂+m）=（x₁-λx₂，y₁-λy₂+（1-λ）m），
∴=2m[y₁-λy₂+（1-λ）m]====0
∴．
（III）由得點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別是（6，9）、（-4，4），
由x²=4y得，∴，
所以拋物線x²=4y在點(diǎn)A處切線的斜率為y′|_x=6=3．
設(shè)圓C的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²
則，
解之得，，，
即x²+y²+3x-23y+72=0．
點(diǎn)評：本題綜合考查了拋物線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓及拋物線相切問題、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率、斜率的計(jì)算公式、切線的性質(zhì)等解出知識與基本技能，考查了推理能力與計(jì)算能力．