Question

如圖，過拋物線x²=4y焦點(diǎn)的直線依次交拋物線與圓x²+（y-1）²=1于點(diǎn)A、B、C、D，則

AB

•

CD

的值是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)A、D的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）及直線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程求出y₁•y₂，y₁+y₂，
并用y₁，y₂表示AF，F(xiàn)D，而所求

AB

•

CD

=

|AB

|•

|CD

|=(AF-BF)(FD-CF)=（AF-1）（FD-1），代入
上述式子中即可．

解答：解：設(shè)A、D的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），依題意知焦點(diǎn)F（0，1），則設(shè)直線AD方程為：y=kx+1，
聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

消去x，得y²-（2+4k²）y+1=0，
∴y₁+y₂=2+4k²，y₁•y₂=1
又根據(jù)拋物線定義得AF=y1+

p

2

，F(xiàn)D=y2+

p

2

，∴AF=y₁+1，F(xiàn)D=y₂+1

AB

•

CD

=

|AB

|•

|CD

|=(AF-BF)(FD-CF)=（AF-1）（FD-1）
=y₁•y₂=1．
故答案為1

點(diǎn)評(píng)：此題設(shè)計(jì)構(gòu)思比較新穎，考查拋物線的定義及巧妙將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化，
同時(shí)在解答過程中處理直線和拋物線的關(guān)系時(shí)運(yùn)用了設(shè)而不求的方法．