Question

(汕頭聯(lián)考模擬)已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)y=f(x)，當(dāng)x＜0時(shí)f(x)＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、yR，有f(x＋y)=f(x)f(y)．

(1)求f(0)，并寫(xiě)出適合條件的函數(shù)f(x)的一個(gè)解析式；

(2)數(shù)列滿足且，

①求通項(xiàng)公式的表達(dá)式；

②令，，，試比較與的大小，并加以證明．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由題意，令y=0，x＜0，得f(x)[1－f(0)]=0，∵x＜0時(shí)，f(x)＞1． ∴1－f(0)=0．f(0)=1．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分) 適合題意的f(x)的一個(gè)解析式為．　　　　　　　　　(4分) (2)①由遞推關(guān)系知，即． ∵f(x)在R上單調(diào)， ∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分) 又，故．　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7分) ②， ． ，　　　　(9分) 欲比較與的大小，只需比較與2n＋1的大�。� 由n=1，2，3代入可知，猜想．　　　　　　(10分) 下用數(shù)學(xué)歸納法證明 (ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，成立； (ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即． 當(dāng)n=k＋1時(shí)，，說(shuō)明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題也成立． 由(ⅰ)(ⅱ)可知，對(duì)于都成立．故．　　(12分)