Question

如果橢圓上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離與它到右焦點(diǎn)的距離相等，那么橢圓的離心率的取值范圍為________．

Answer 1

分析：先利用橢圓的第二定義：到左焦點(diǎn)的距離與到左準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù)e（離心率），用P到左焦點(diǎn)的距離表示P到左準(zhǔn)線的距離，再利用橢圓的第一定義：到兩焦點(diǎn)的距離之和為定值2a，且P到焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[a-c，a+c]，列出關(guān)于e的不等式即可解得橢圓的離心率的取值范圍
解答：設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，離心率為e
由橢圓第二定義，點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為，∴=d₂，
又∵d₁+d₂=2a，∴=d₂，即d₂=
∵a-c≤d₂≤a+c
∴a-c≤≤a+c，即1-e≤≤1+e，
又∵0＜e＜1
∴解不等式得-1≤e＜1
故答案為
點(diǎn)評：本題考察了橢圓的兩個定義及兩個定義間的關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何意義，解題時重點(diǎn)掌握橢圓的兩個定義