Question

某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的限制，會產(chǎn)生較多次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，次品數(shù)p（萬件）與日產(chǎn)量x（萬件）之間滿足關(guān)系：．已知每生產(chǎn)l萬件合格的元件可以盈利20萬元，但每產(chǎn)生l萬件次品將虧損10萬元．（實(shí)際利潤=合格產(chǎn)品的盈利-生產(chǎn)次品的虧損）
（1）試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的實(shí)際利潤T（萬元） 表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；
（2）當(dāng)工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x（萬件） 定為多少時獲得的利潤最大，最大利潤為多少？

Answer 1

解：（1）當(dāng)1≤x＜4時，合格的元件數(shù)為（萬件），
利潤（萬元）；
當(dāng)x≥4時，合格的元件數(shù)為（萬件），
利潤（萬元），
綜上，該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤為．
（2）當(dāng)1≤x＜4時，T=20x-5x²=-5（x-2）²+20
∴當(dāng)x=2（萬件）時，利潤T的最大值20（萬元）；
當(dāng)x≥4時，
令，則，
當(dāng)x∈[4，+∞）時，y^′＞0，所以在[4，+∞）上是單調(diào)遞增，
所以函數(shù)T（x）在[4，+∞）上是減函數(shù)，
則當(dāng)x=4時，利潤T的最大值0．
綜上所述，當(dāng)日產(chǎn)量定為2（萬件）時，工廠可獲得最大利潤20萬元．
答：當(dāng)工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x（萬件） 定為2（萬件）時獲得的利潤最大，最大利潤為20萬元．
分析：（1）根據(jù)題目條件寫出在x的不同范圍內(nèi)的合格的元件間數(shù)，然后由實(shí)際利潤=合格產(chǎn)品的盈利-生產(chǎn)次品的虧損將生產(chǎn)這種元件所獲得的實(shí)際利潤T（萬元） 表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；
（2）分別利用配方法和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在連段內(nèi)的最值，最后取兩段的最大之中的最大者．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了配方法及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，注意分段函數(shù)的最值要分段求，此題是中檔題．