Question

（2013•崇明縣二模）某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的限制，會(huì)產(chǎn)生較多次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，次品數(shù)p（萬(wàn)件）與日產(chǎn)量x（萬(wàn)件）之間滿(mǎn)足關(guān)系：p=

x2 6 ，(1≤x＜4) x+ 3 x - 25 12 ，(x≥4)

．已知每生產(chǎn)l萬(wàn)件合格的元件可以盈利20萬(wàn)元，但每產(chǎn)生l萬(wàn)件次品將虧損10萬(wàn)元．（實(shí)際利潤(rùn)=合格產(chǎn)品的盈利-生產(chǎn)次品的虧損）
（1）試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的實(shí)際利潤(rùn)T（萬(wàn)元） 表示為日產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)；
（2）當(dāng)工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x（萬(wàn)件） 定為多少時(shí)獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目條件寫(xiě)出在x的不同范圍內(nèi)的合格的元件間數(shù)，然后由實(shí)際利潤(rùn)=合格產(chǎn)品的盈利-生產(chǎn)次品的虧損將生產(chǎn)這種元件所獲得的實(shí)際利潤(rùn)T（萬(wàn)元） 表示為日產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)；
（2）分別利用配方法和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在連段內(nèi)的最值，最后取兩段的最大之中的最大者．

解答：解：（1）當(dāng)1≤x＜4時(shí)，合格的元件數(shù)為x-

x2

6

（萬(wàn)件），
利潤(rùn)T=20(x-

x2

6

)-10×

x2

6

=20x-5x2（萬(wàn)元）；
當(dāng)x≥4時(shí)，合格的元件數(shù)為x-(x+

3

x

-

25

12

)=

25

12

-

3

x

（萬(wàn)件），
利潤(rùn)T=20(

25

12

-

3

x

)-10(x+

3

x

-

25

12

)=

125

2

-

90

x

-10x（萬(wàn)元），
綜上，該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤(rùn)為T=

20x-5x2，1≤x＜4 125 2 - 90 x -10x，x≥4

．
（2）當(dāng)1≤x＜4時(shí)，T=20x-5x²=-5（x-2）²+20
∴當(dāng)x=2（萬(wàn)件）時(shí)，利潤(rùn)T的最大值20（萬(wàn)元）；
當(dāng)x≥4時(shí)，T=

125

2

-

90

x

-10x=

125

2

-(10x+

90

x

)
令y=10x+

90

x

，則y′=10-

90

x2

=

10(x+3)(x-3)

x2

，
當(dāng)x∈[4，+∞）時(shí)，y^′＞0，所以y=10x+

90

x

在[4，+∞）上是單調(diào)遞增，
所以函數(shù)T（x）在[4，+∞）上是減函數(shù)，
則當(dāng)x=4時(shí)，利潤(rùn)T的最大值0．      
綜上所述，當(dāng)日產(chǎn)量定為2（萬(wàn)件）時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)20萬(wàn)元．
答：當(dāng)工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x（萬(wàn)件） 定為2（萬(wàn)件）時(shí)獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為20萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了配方法及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，注意分段函數(shù)的最值要分段求，此題是中檔題．