Question

（2011•東城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+c，且a=f′(

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)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=（f（x）-x³）•e^x，若函數(shù)g（x）在x∈[-3，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²-x+c，得f'（x）=3x²+2ax-1．當(dāng)x=

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時(shí)，得a=f ′(

2

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)=3×(

2

3

)2+2f ′(

2

3

)×(

2

3

)-1，由此能求出a的值．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=x³-x²-x+c，從而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

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)(x-1)，列表討論，能求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅲ）函數(shù)g（x）=（f（x）-x³）•e^x=（-x²-x+c）•e^x，有g(shù)'（x）=（-2x-1）e^x+（-x²-x+c）e^x=（-x²-3x+c-1）e^x，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間x∈[-3，2]上單調(diào)遞增，等價(jià)于h（x）=-x²-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，由此能求出實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²-x+c，得f'（x）=3x²+2ax-1．
當(dāng)x=

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時(shí)，得a=f ′(

2

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)=3×(

2

3

)2+2f ′(

2

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)×(

2

3

)-1，
解之，得a=-1．…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=x³-x²-x+c．
從而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

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)(x-1)，
由f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

1

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)(x-1)=0，得x1=-

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 ，x2=1，
列表如下：

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有極大值	↘	有極小值	↗

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞ ， -

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)和（1，+∞）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-

1

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 ， 1)．…（9分）
（Ⅲ）函數(shù)g（x）=（f（x）-x³）•e^x=（-x²-x+c）•e^x，
有g(shù)'（x）=（-2x-1）e^x+（-x²-x+c）e^x=（-x²-3x+c-1）e^x，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間x∈[-3，2]上單調(diào)遞增，
等價(jià)于h（x）=-x²-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
所以c的取值范圍是c≥11．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查參數(shù)值的求法和單調(diào)區(qū)間的求法及求解實(shí)數(shù)的取值范圍，考查運(yùn)算求解能力，推導(dǎo)論證能力，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化化歸思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．