Question

如圖，橢圓上頂點(diǎn)為A，Q為x軸正半軸上一點(diǎn)，P為橢圓上異于A的一點(diǎn)，且．
（1）若的值；
（2）若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線+3=0相切，求橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓離心率可知b=c，進(jìn)而根據(jù)．得AQ⊥AF，所以得到直線AQ的斜率，進(jìn)而求得Q的坐標(biāo)，最后利用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)而可得答案．
（2）依題意可設(shè)QF的中點(diǎn)為M，則M（c，0），，從而過A，Q、F三點(diǎn)的橢圓的圓心M（c，0）半徑為，又因此圓與l的相切，相切可知圓心到直線的距離等于半徑，建立等式可求得c，進(jìn)而求得a和b．橢圓的方程可得．
解答：解：（1）令
由橢圓離心率，…（1分）
則題意知A（0，b），F(xiàn)（-c，0），所以直線AF的斜率為，
由．得AQ⊥AF，所以直線AQ的斜率為
設(shè)Q
所以…（3分）
又設(shè)
由，
得，…（5分）
點(diǎn)P，
將a=2c，b=代入上式，可得λ=0（舍）或，
所以．
（2）設(shè)QF的中點(diǎn)為M，則M（c，0），，…（9分）
所以過A，Q、F三點(diǎn)的橢圓的圓心M（c，0）半徑為…（9分）
又因此圓與l的相切，所以，
解得c=1，所以，
橢圓方程…（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．注意圓錐曲線之間相交和相切的關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系找到解決問題的途徑．