Question

【題目】設(shè)a，b∈R，若x≥0時(shí)恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，則ab等于　_________　．

Answer 1

【答案】﹣1

【解析】

驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，

當(dāng)x=1時(shí)，將1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，

當(dāng)x=0時(shí)，可得0≤b≤1，結(jié)合a+b=0可得﹣1≤a≤0

令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0

又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x，

令f′′（x）＞0，可得x＞，則f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上減，在[，+∞）上增

又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0

又x≥0時(shí)恒有0≤x4﹣x3+ax+b，結(jié)合f（1）=a+b=0知，1必為函數(shù)f（x）=x4﹣x3+ax+b的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)

故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1

故ab=﹣1

故答案為﹣1