Question

【題目】如圖，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直.點M在上移動，點N在上移動，若（）.

（1）當a為何值時，的長最��；

（2）當長最小時，求面與面所成的二面角α的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）作交于點P，交于點Q，連接，易得是平行四邊形，再將表示為關(guān)于a的函數(shù)，利用配方法求最小值即可；

（2）取的中點G，連接、，根據(jù)二面角的平面角的定義可知即為二面角α的平面角，然后利用余弦定理求解即可.

解：（1）作交于點P，

交于點Q，連接，依題意可得，且，

即是平行四邊形

∴. 由已知，，，

∴，

即

∴

（）

所以當，即M，N分別移動到，的中點時，的長取最小值；

（2）取的中點G，連接、，

∵，，

∴，，

∴即為二面角α的平面角.

又，

所以由余弦定理有.

故長最小時，面與面所成的二面角α的余弦值為.