Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，令，試討論函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.(Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（1）函數(shù)在某區(qū)間上為增函數(shù)就是要求函數(shù)的導數(shù)在某區(qū)間上非負，求出函數(shù)的導數(shù)，由于含參，所以對參數(shù)分類兩種情況討論，當時，導數(shù)非負恒成立，當，導數(shù)值有正有負有零，不合題意舍；（2）寫出函數(shù)F(x)并求導，分m=1和m>1兩種情況研究，當m=1時，函數(shù)單調減，一個零點，當 m>1時，寫出函數(shù)的單調區(qū)間，圖象先減后增再減，由于極小值為正，只能當極大值小于零時，才會有一個零點，解出m的范圍 .

試題解析：

（Ⅰ）依題意得， ， ，

當時， ，故函數(shù)在上單調遞增，符合題意；

當時， ，

令，得，函數(shù)單調遞減，

令，得，函數(shù)單調遞增，

故函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，不合題意.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.

(Ⅱ）（），

易得.

①若，則，函數(shù)為減函數(shù)，

注意到， ，所以有唯一零點；

②若，則當或時， ，當時， ，

所以函數(shù)在和上單調遞減，在上單調遞增，

注意到， ，所以有唯一零點.

綜上，當時，函數(shù)有唯一零點.