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        1.  

          設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù),其中對(duì)任意的都有>0,使得,則稱函數(shù)具有性質(zhì)。

          (1)設(shè)函數(shù),其中為實(shí)數(shù)。

          (i)求證:函數(shù)具有性質(zhì); (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

          (2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù),

          ,,且,

          若||<||,求的取值范圍。

           

          數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)

           

          【答案】

           [解析] 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。

          (1)(i)

          時(shí),恒成立,

          ∴函數(shù)具有性質(zhì);

          (ii)(方法一)設(shè)的符號(hào)相同。

          當(dāng)時(shí),,,故此時(shí)在區(qū)間上遞增;

          當(dāng)時(shí),對(duì)于,有,所以此時(shí)在區(qū)間上遞增;

          當(dāng)時(shí),圖像開口向上,對(duì)稱軸,而,

          對(duì)于,總有,故此時(shí)在區(qū)間上遞增;

          (方法二)當(dāng)時(shí),對(duì)于

             所以,故此時(shí)在區(qū)間上遞增;

          當(dāng)時(shí),圖像開口向上,對(duì)稱軸,方程的兩根為:,而

           當(dāng)時(shí),,,故此時(shí)在區(qū)間     上遞減;同理得:在區(qū)間上遞增。

          綜上所述,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上遞增;

                    當(dāng)時(shí),上遞減;上遞增。

          (2)(方法一)由題意,得:

          對(duì)任意的都有>0,

          所以對(duì)任意的都有,上遞增。

          當(dāng)時(shí),,且,

                   

          綜合以上討論,得:所求的取值范圍是(0,1)。

          (方法二)由題設(shè)知,的導(dǎo)函數(shù),其中函數(shù)對(duì)于任意的都成立。所以,當(dāng)時(shí),,從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。

          ①當(dāng)時(shí),有,

          ,得,同理可得,所以由的單調(diào)性知、,

          從而有||<||,符合題設(shè)。

          ②當(dāng)時(shí),,

          ,于是由的單調(diào)性知,所以||≥||,與題設(shè)不符。

          ③當(dāng)時(shí),同理可得,進(jìn)而得||≥||,與題設(shè)不符。

          因此綜合①、②、③得所求的的取值范圍是(0,1)。

           

           

          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (03年北京卷理)(14分)

          設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),且滿足條件,

          ②對(duì)任意的、,都有

          (Ⅰ)證明:對(duì)任意,都有

          (Ⅱ)證明:對(duì)任意的都有

          (Ⅲ)在區(qū)間上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)且使得

          若存在請(qǐng)舉一例,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (03年北京卷文)(14分)

          設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),且滿足條件:

             (i)

             (ii)對(duì)任意的

             (Ⅰ)證明:對(duì)任意的

             (Ⅱ)判斷函數(shù)是否滿足題設(shè)條件;

             (Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù),且使得對(duì)任意的

                     

          若存在,請(qǐng)舉一例:若不存在,請(qǐng)說明理由.

           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (本小題滿分16分)

          設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù),其中對(duì)任意的都有>0,使得,則稱函數(shù)具有性質(zhì)

          (1)設(shè)函數(shù),其中為實(shí)數(shù)。

          (i)求證:函數(shù)具有性質(zhì); (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

          (2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù),

          ,,且

          若||<||,求的取值范圍。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù),其中對(duì)任意的都有>0,使得,則稱函數(shù)具有性質(zhì)。

          (1)設(shè)函數(shù),其中為實(shí)數(shù)。

          (i)求證:函數(shù)具有性質(zhì); (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

          (2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù),

          ,,且

          若||<||,求的取值范圍。

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