Question

【題目】如圖的空間幾何體中，四邊形為邊長為2的正方形，平面，，，且，.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）分別取的中點(diǎn)，，連接，，，首先證明出四邊形為平行四邊形得到，接著通過證明面來得到面，通過面面垂直判定定理即可得結(jié)果；

（2）如圖所示：取中點(diǎn)，記，連接，，利用線面平行性質(zhì)定理證出兩面的交線與平行，然后再證出，可得為平面與平面ABCD所成二面角的平面角，在中即可求得答案.

（1）如圖所示：

分別取的中點(diǎn)，，連接，，，

∵，，，，

∴，且，,

∴四邊形為平行四邊形，∴，

由于，為的中點(diǎn)，四邊形為邊長為2的正方形

∴，

又∵平面，∴,

又∵，∴面，

∴面，

∴平面平面.

（2）如圖所示：取中點(diǎn)，記，連接，，

由（1）知，，∴面ABCD，

記面面，則

易得，即，

又∵平面，∴，

又∵，，

∴面，∴，即為直角三角形，

同理為直角三角形，

由于，，

由，則，∴，

∴，即，

∴則為平面與平面ABCD所成二面角的平面角，

由四邊形為邊長為2的正方形得，

∴，∴，

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.