Question

2010年9月5日生效的一年期個人貸款利率為7.29%，小陳準(zhǔn)備購買一部汽車，購車一年后一次性付清車款，這時正好某商業(yè)銀行推出一種一年期優(yōu)惠貸款業(yè)務(wù)，年利率為x，且x∈（0.045，0.062），貸款量與利率的平方成正比，因此，小陳申請這種一年期優(yōu)惠貸款．（利息=貸款量乘以利率）
（1）寫出小陳采用優(yōu)惠貸款方式貸款應(yīng)支付的利息h（x）；
（2）一年期優(yōu)惠利率x為多少時，兩種貸款的利息差最大？

Answer 1

分析：（1）由貸款量與利率的平方成正比求出貸款量，乘以利率得利息；
（2）求出采用2010年9月5日生效的一年期個人貸款應(yīng)付利息，兩種貸款利息作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值．

解答：解：（1）∵貸款量與利率的平方成正比，
∴貸款量為kx²（k＞0），應(yīng)支付利息h（x）=kx²•x=kx³，x∈（0.045，0.062）；
（2）若小陳采用2010年9月5日生效的一年期個人貸款，則應(yīng)付利息為0.0729kx²．
小陳的兩種貸款方式的利息差為y=0.0729kx²-kx³，x∈（0.045，0.062）．
y′=0.145kx-3kx²，令y′=0，解得x=0或x=0.0486．
當(dāng)x∈（0.045，0.0486）時，y′＞0，當(dāng)x∈（0.0468，0.062）．
∴x=0.0468時，利息差取得極大值，即一年期優(yōu)惠利率為4.68%時，利息差最大．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查了簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題．