已知函數
.
（1）當
時，求
的極值；
（2）當
時，討論的單調性；
（3）若對任意的
，
，恒有
成立，求實數
的取值范圍.
（1）
的極小值為
，無極大值；
（2）①當
時，在
和
上是減函數，在
上是增函數；
②當
時，在
上是減函數；
③當
時，在
和
上是減函數，在
上是增函數
（3）
.
解析試題分析：第一問，將代入中確定函數的解析式，對進行求導，判斷的單調性，確定在
時，函數有極小值，但無極大值，在解題過程中，注意函數的定義域；第二問，對求導，
的根為
和
，所以要判斷函數的單調性，需對和的大小進行3種情況的討論；第三問，由第二問可知，當
時，在
為減函數，所以
為最大值，
為最小值，所以
的最大值可以求出來，因為
對任意的
恒成立，所以
，將的最大值代入后，，又是一個恒成立，整理表達式，即
對任意恒成立，所以再求
即可.
試題解析：（1）當時，
1分
由
,解得
. 2分
∴在上是減函數，在上是增函數. 3分
∴的極小值為，無極大值. 4分
（2）
. 5分
①當時，在和上是減函數，在上是增函數； 6分
②當時，在上是減函數； 8分
③當時，在和上是減函數，在上是增函數. 8分
（3）當時，由（2）可知在
上是減函數，
∴
. 9分
由
對任意的恒成立，
∴
10分
即
對任意
挑戰(zhàn)100單元檢測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數f(x)＝x2＋aln(x＋1)有兩個極值點x1，x2，且x1<x2.
(1)求實數a的取值范圍；
(2)當a＝
時，判斷方程f(x)＝－
的實數根的個數，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝lnx＋ax(a∈R)．
(1)求f(x)的單調區(qū)間；
(2)設g(x)＝x2－4x＋2，若對任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝ln ax－
(a≠0)．
(1)求函數f(x)的單調區(qū)間及最值；
(2)求證：對于任意正整數n，均有1＋
(e為自然對數的底數)；
(3)當a＝1時，是否存在過點(1，－1)的直線與函數y＝f(x)的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知x＝3是函數f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一個極值點．
(1)求a；
(2)求函數f(x)的單調區(qū)間；
(3)若直線y＝b與函數y＝f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)．
(1)確定a的值；
(2)求函數f(x)的單調區(qū)間與極值．
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（e為自然對數的底數）
的單調區(qū)間；
，存在實數
，使得
成立，求實數
的取值范圍
．
存在單調遞減區(qū)間，求實數
的取值范圍；
,求證：當
時，
恒成立；
，則
.
．
時，①若
的圖象與
的圖象相切于點
，求
及
的值；
在
上有解，求
時，若
在
上恒成立，求
的取值范圍．