Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-(a-1)x2+b2x，其中a，b為常數(shù)．
（1）當a=6，b=3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（1）將a=6，b=3代入，我們易求出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)后，令導函數(shù)的函數(shù)值大于等于0，由此構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解不等式即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）這是一個幾何概型問題，我們可以先畫出a∈[0，4]，b∈[0，3]，對應的平面區(qū)域的面積，然后再求出滿足條件函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)時對應的平面區(qū)域的面積，計算出對應的面積后，代入幾何概型公式即可得到答案．

解答：解：（1）當a=6，b=3時，f(x)=

1

3

x3-5x2+9x，f'（x）=x²-10x+9
令f'（x）=x²-10x+9≥0，（x-1）（x-9）≥0，解得x≤1或x≥9，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間分別為（-∞，1]和[9，+∞）
（2）f'（x）=x²-2（a-1）x+b²
若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，則對于任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以，△=4（a-1）²-4b²≤0，即（a+b-1）（a-b-1）≤0
設(shè)“f（x）在R上是增函數(shù)”為事件A，則事件A對應的區(qū)域為（a，b）|（a+b-1）（a-b-1）≤0
全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Ω=（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，如圖．
所以，P(A)=

S陰影

SΩ

=

3×4- 1 2 ×1×1- 1 2 ×3×3

3×4

=

7

12

故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率為

7

12

．

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，幾何概型及概率的應用，其中利用導函數(shù)大于等于0，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，是解答本題的關(guān)鍵．