Question

已知等差數列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且第二項，第五項，第十四項分別是等比數列{b_n}的第二項，第三項，第四項．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設數列{c_n}對任意自然數n，均有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₆值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式將第二項，第五項，第十四項用{a_n}的首項與公差表示，再據此三項成等比數列，列出方程，求出公差，利用等差數列及等比數列的通項公式求出數列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）利用數列的第n項等于前n項和減去前n-1項的和求出

cn

bn

，進一步求出c_n，利用等比數列的前n項和公式求出從第二項開始到第n項的和再加上首項3．

解答：解：（1）由題意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）
解得d=2，
∴a_n=2n-1，b_n=3^n-1（5分）
（2）當n=1時，c₁=3；當n≥2時，

cn

bn

=an+1-an，
c_n=2•3^n-1，cn=

3(n=1) 2•3n-1(n≥2)

（10分）
∴c₁+c₂+…+c₂₀₀₆=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰⁰⁵=3²⁰⁰⁶（14分）

點評：求數列的前n項和，關鍵先求出數列的通項，判斷出通項的特點，再選擇合適的求和方法．