Question

已知橢圓和橢圓的離心率相同，且點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且恰為弦的中點(diǎn)。求證：無論點(diǎn)怎樣變化，的面積為常數(shù)，并求出此常數(shù).

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）的面積為常數(shù)．

解析試題分析：（1）由題知，且，解這個方程組求得即可得橢圓的方程；（2）涉及直線與曲線的關(guān)系的問題，多是將直線方程與曲線方程聯(lián)立再用韋達(dá)定理解決.此題中有兩個橢圓，將哪個橢圓的方程與直線方程聯(lián)立？此題意即直線與的交點(diǎn)的中點(diǎn)在上，故應(yīng)將直線方程與的方程聯(lián)立由韋達(dá)定理得中點(diǎn)坐標(biāo)，再將中點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程.然后求出三角形OAB的面積的表達(dá)式，再利用前面所得關(guān)系式化為一常數(shù)即可.
試題解析：（1）由題知，且 即，橢圓的方程為；    4分
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，必有，此時，        5分
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為、點(diǎn)，則
與橢圓聯(lián)立，得，設(shè)，
則  即            8分
又             9分



綜上，無論怎樣變化，的面積為常數(shù)．            12分
考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.