Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)OA，OB的斜率之和為．

（1）求a和k的值；

（2）若，設(shè)直線(xiàn)與y軸交于D點(diǎn)，延長(zhǎng)MD與拋物線(xiàn)C交于點(diǎn)N，拋物線(xiàn)C在點(diǎn)N處的切線(xiàn)為n，記直線(xiàn)n，與x軸圍成的三角形面積為S．求S的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)，得，設(shè)，，，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，可得出的值.

（2）由（1）得直線(xiàn)的方程，可得，所以，則直線(xiàn)DM的方程為：，聯(lián)立，可得到，利用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)n的方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo),得到三角形的面積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值.

解：（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)，得，

由，得，

設(shè)，，

則，，

故

由已知直線(xiàn)OA．OB的斜率之和為，故；

（2）在直線(xiàn)的方程中，

令得，，

直線(xiàn)DM的方程為：，

即

由，得，

解得：或，所以，

由，得，，

切線(xiàn)n的斜率，

切線(xiàn)n的方程為：，即，

由，得直線(xiàn)l、n交點(diǎn)Q，縱坐標(biāo)

設(shè)直線(xiàn)，與x軸的交點(diǎn)，，

在直線(xiàn)，方程中令.

得到點(diǎn)，，

所以，

，．

當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

∴當(dāng)時(shí)，S最小值為．