Question

【題目】如圖， 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， 是橢圓的頂點(diǎn)， 是直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)， .

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知的面積為，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意知為等邊三角形，從而得到的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率；（2）首先根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到的關(guān)系式，然后設(shè)出直線的方程，并代入橢圓方程得到點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，再根據(jù)三角形面積公式求得的值，進(jìn)而求得橢圓的方程；別解：設(shè)，然后利用橢圓的定義表示出的長(zhǎng)，再利用余弦定理得到的關(guān)系式，從而根據(jù)三角形面積公式求得的值，進(jìn)而求得橢圓的方程.

試題解析：

（1）由題意可知， 為等邊三角形， ，所以.

（2）（ 方法一）， .

直線的方程可為．

將其代入橢圓方程，得

所以

由，

解得， ，

（方法二）設(shè). 因?yàn)?/span>，所以．

由橢圓定義可知， ．

再由余弦定理可得， ．

由知， ， ，