Question

【題目】已知直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求拋物線方程；

（2）斜率不為0的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，.拋物線上是否存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求出的斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）拋物線上不存在兩點(diǎn)，關(guān)于過焦點(diǎn)的直線對(duì)稱；詳見解析

【解析】

（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得，因?yàn)橹本�與拋物相切，所以即可求出參數(shù)的值.

（2）設(shè)直線的方程為.假設(shè)拋物線上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，設(shè)，，中點(diǎn)為.列出韋達(dá)定理表示出點(diǎn)坐標(biāo)，其代入方程，即可判斷.

解：（1）由題聯(lián)立方程組消去得

因?yàn)橹本�與拋物相切，所以解得或（舍）

所以拋物線的方程為.

（2）由（1）可知，所以可設(shè)直線的方程為.

假設(shè)拋物線上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，

可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組消去得

由，得，

設(shè)，，中點(diǎn)為.

則，，

因?yàn)?/span>在直線上，所以將其代入方程，

得，即，代入，得，

所以無解，故不存在.

即拋物線上不存在兩點(diǎn)，關(guān)于過焦點(diǎn)的直線對(duì)稱.