Question

已知A是拋物線y²=4x上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，直線FA交拋物線的準(zhǔn)線于點B（點B在x軸上方），若|AB|=2|AF|，則點A的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)B（-1，t），A（m，n），則根據(jù)|AB|=2|AF|（點B在x軸上方），可得

BA

=2

AF

（n＞0）或

BF

=

FA

（n＜0），分類討論，即可求得點A的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)B（-1，t），A（m，n），則
∵拋物線y²=4x，
∴F（1，0），
∵|AB|=2|AF|（點B在x軸上方），
∴

BA

=2

AF

（n＞0）或

BF

=

FA

（n＜0），

BA

=2

AF

（n＞0）時，（m+1，n-t）=2（1-m，-n），
∴

m+1=2-2m n-t=-2n

，
∴m=

1

3

，代入y²=4x可得n=

2 3

3

；

BF

=

FA

（n＜0）時，（m+1，n-t）=2（m-1，n），
∴m=3，代入y²=4x可得n=-2

3

．
∴點A的坐標(biāo)為(3，  -2

3

)或（

1

3

，

2 3

3

）．
故答案為：(3，  -2

3

)或（

1

3

，

2 3

3

）．

點評：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查向量知識的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．