Question

已知y=f（x）為R上的連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，，則關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0
B．1
C．2
D．0或2

Answer 1

【答案】分析：欲求關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化成xf（x）+1=0的根的個(gè)數(shù)，令F（x）=xf（x）+1，根據(jù)條件討論x的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到結(jié)論．
解答：解：∵當(dāng)x≠0時(shí)，，
∴
要求關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化成xf（x）+1=0的根的個(gè)數(shù)
令F（x）=xf（x）+1
當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0即F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)x＜0時(shí)，xf′（x）+f（x）＜0即F′（x）＜0，∴F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減
而y=f（x）為R上的連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)
∴xf（x）+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和分離討論的思想，屬于中檔題．