Question

已知y=f（x）為R上的連續(xù)可導的函數(shù)，當x≠0時，f′(x)+

f(x)

x

＞0，則關(guān)于x的方程f(x)+

1

x

=0的根的個數(shù)為（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．0或2

Answer 1

分析：欲求關(guān)于x的方程f(x)+

1

x

=0的根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化成xf（x）+1=0的根的個數(shù)，令F（x）=xf（x）+1，根據(jù)條件討論x的正負，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到結(jié)論．

解答：解：∵當x≠0時，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴

xf′(x)+f(x)

x

＞0
要求關(guān)于x的方程f(x)+

1

x

=0的根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化成xf（x）+1=0的根的個數(shù)
令F（x）=xf（x）+1
當x＞0時，xf′（x）+f（x）＞0即F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
當x＜0時，xf′（x）+f（x）＜0即F′（x）＜0，∴F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減
而y=f（x）為R上的連續(xù)可導的函數(shù)
∴xf（x）+1=0無實數(shù)根
故選A．

點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，以及導數(shù)運算和分離討論的思想，屬于中檔題．