Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，底面四邊形為直角梯形，，，為線段上一點(diǎn).

(1)若，則在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

(2)己知，若異面直線與成角，二而角的余弦值為，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）存在，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)；（2）2.

【解析】

(1) 延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接。通過(guò)證明及，可得M為PB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)P。

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求得平面和平面的法向量，再根據(jù)二面角夾角的余弦值即可得參數(shù)t的值，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)。

解：（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，則平面.

若平面，由平面平面，平面，則.

由，，則，

故點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).

（2）∵，，，平面，平面，

則平面

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸、軸，過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則，，，，則，，

設(shè)平面和平面的法向量分別為，.

由，得即，

令，則，故.

同理可求得.

于是，則，解之得（負(fù)值舍去），故.

∴.