Question

如圖，A地在B地東偏北45°方向相距2

2

km處，B地與東西走向的高鐵線（近似看成直線）l相距4km．已知曲線形公路PQ上任意一點(diǎn)到B地的距離等于到高鐵線l的距離，現(xiàn)要在公路旁建造一個(gè)變電房M（變電房與公路之間的距離忽略不計(jì)）分別向A地、B地送電．
（Ⅰ）試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求環(huán)形公路PQ所在曲線的軌跡方程；
（Ⅱ）問變電房M應(yīng)建在相對(duì)A地的什么位置（方位和距離），才能使得架設(shè)電路所用電線長度最短？并求出最短長度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取經(jīng)過點(diǎn)B且垂直l的直線為y軸，垂足為K，并使原點(diǎn)與線段BK的中點(diǎn)重合，建立直角坐標(biāo)系xoy，由題意可知環(huán)形公路PQ所在曲線的軌跡是拋物線，直接利用拋物線的定義得到其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）利用拋物線的定義，把所要求的最小值轉(zhuǎn)化為在拋物線上取一點(diǎn)，使該點(diǎn)到A點(diǎn)的距離和到高鐵線l的距離最小．

解答：解：（Ⅰ） 如圖，

取經(jīng)過點(diǎn)B且垂直l的直線為y軸，垂足為K，
并使原點(diǎn)與線段BK的中點(diǎn)重合，建立直角坐標(biāo)系xoy，
則B（0，2），A（2，4），
因?yàn)榄h(huán)形公路PQ上任意一點(diǎn)到B地的距離等于到直線l的距離，
所以PQ所在的曲線是以B（0，2）為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線．
設(shè)拋物線方程為x²=2py（p＞0），則p=4．
∴環(huán)形公路PQ所在曲線的軌跡方程為x²=8y．
（Ⅱ）要使架設(shè)電線長度最短，即|MA|+|MB|最小，
過M作MH⊥l，垂足為H，依題意|MB|=|MH|
∴|MA|+|MB|=|MA|+|MH|，
當(dāng)A、M、H三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|MH|取得最小值，即|MA|+|MB|取得最小值，
此時(shí)M(2，

1

2

)，位于A地正南方且與A地相距

7

2

km，所用電線最短長度為6km．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的軌跡方程問題，考查了拋物線的定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是正確建立平面直角坐標(biāo)系，是中檔題．