Question

如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，河流
的沒岸PQ（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km．現(xiàn)要在曲線PQ上一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從M到B、M到C修建公路的費(fèi)用分別是a萬(wàn)元/km、2a萬(wàn)元/km，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（　�。�

• A、（2

  7

  -2）a萬(wàn)元
• B、5a萬(wàn)元
• C、（2

  7

  +1）a萬(wàn)元
• D、（2

  3

  +3）a萬(wàn)元

Answer 1

分析：依題意知曲線PQ是以A、B為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的一支，此雙曲線的離心率為2，以直線AB為x軸、AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則該雙曲線的方程為 x2-

y2

3

=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，

3

）．求出修建這條公路的總費(fèi)用W，根據(jù)雙曲線的定義有 |MM1|=

1

2

|MB|，根據(jù)a+b ≥2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)的方法求出W的最小值即可．

解答：解：依題意知PMQ曲線是以A、B為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的一支（以B為焦點(diǎn)），
此雙曲線的離心率為2，以直線AB為軸、AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則該雙曲線的方程為 x²-

y2

3

=1，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，

3

）．則修建這條公路的總費(fèi)用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[

1

2

|MB|+|MC|]，
設(shè)點(diǎn)M、C在右準(zhǔn)線上射影分別為點(diǎn)M₁、C₁，
根據(jù)雙曲線的定義有|MM₁|=

1

2

|MB|，
所以=2a[|MM₁|+|MC|]≥2a|C C₁|=2a×（3-

1

2

）=5a．
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M在線段C C₁上時(shí)取等號(hào)，故ω的最小值是5a．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型的能力，以及會(huì)用a+b ≥2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)的方法來(lái)求函數(shù)的最小值的能力．