Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）的頂點(diǎn)都在橢圓上，其中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，試問(wèn)能否為正三角形？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 不可能為正三角形，理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意得，利用橢圓的定義可得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)若為正三角形，則且，

顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得， ，則，同理可得.據(jù)此可得關(guān)于實(shí)數(shù)k的方程，方程無(wú)解，則不可能為正三角形.

試題解析：

(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

依題意得，

，

所以， ，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)若為正三角形，則且，

顯然直線的斜率存在且不為0，

設(shè)方程為，

則的方程為，聯(lián)立方程，

解得， ，

所以，

同理可得.

又，所以，

化簡(jiǎn)得無(wú)實(shí)數(shù)解，

所以不可能為正三角形.