Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，、，，點(diǎn)在橢圓上，為原點(diǎn).

⑴若，，求橢圓的離心率；

⑵若橢圓的右頂點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為2，且滿(mǎn)足為橢圓的離心率）.

①求橢圓的方程；

②設(shè)直線：與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若的面積為1，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

（1）由題意得，利用勾股定理得，再利用橢圓的定義得到的關(guān)系，從而求得離心率；

（2）①由，得，求出后，即可得到橢圓的方程；

②設(shè)點(diǎn)，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求得關(guān)于的解析式，再由點(diǎn)到直線的距離公式，得到面積，從而求得的值.

（1）連接.因?yàn)?/span>，

所以是等邊三角形，所以.

又，所以,所以.

于是，有，

所以，即所求橢圓的離心率為.

（2）①由，得，

整理，得.

又因?yàn)?/span>，所以，.

故所求橢圓的方程為.

②依題意，設(shè)點(diǎn).

聯(lián)立方程組

消去，并整理得.

則，（*）

且，

所以.

又點(diǎn)到直線的距離為，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，解得.

經(jīng)驗(yàn)證滿(mǎn)足（*）式，

故所求實(shí)數(shù).