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        1. 【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣(a2+1)x+alnx.
          (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在[ , e]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (Ⅱ)當(dāng)a時(shí),求f(x)在[1,2]上的最大值和最小值.(注意:ln2<0.7)

          【答案】(Ⅰ)∵f(x)在[,e]上單調(diào)遞減,∴f′(x)=ax﹣(a2+1)+≤0在[,e]上恒成立,
          即ax+≤a2+1,
          ①當(dāng)a≤0時(shí),結(jié)論成立,
          ②當(dāng)a>0時(shí),不等式等價(jià)為x+≤a+在[,e]上恒成立,
          當(dāng)x>0時(shí),h(x)=x+在(0,1)上是減函數(shù),在[1,+∞)上是增函數(shù),
          ∴要使函數(shù)h(x)<h(a)在[,e]上恒成立,
          則0<x≤或x≥e,
          綜上a≤或a≥e.
          (Ⅱ)f′(x)=ax﹣(a2+1)+=
          由f′(x)=0得x=a或,
          ①當(dāng)0<a≤時(shí),即f′(x)≤0時(shí),f(x)在[1,2]上遞減,
          ∴f(x)min=f(2)=2a﹣2(a2+1)+aln2,f(x)max=f(1)=a﹣(a2+1),
          ②當(dāng)<a≤時(shí),
          當(dāng)1≤x<時(shí),f′(x)<0,當(dāng)<x≤2,f′(x)>0,
          ∴f(x)min=f()=﹣a﹣﹣alna,
          f(2)﹣f(1)=a﹣(a2+1)+aln2,
          設(shè)h(x)=x﹣(x2+1)+xln2,<x≤
          h′(x)=﹣2x+ln2,
          <x≤
          ∴h′(x)>0,
          則h(x)在<x≤上單調(diào)遞增,
          ∴h(x)max=×﹣[(2+1]+ln2=+ln2<0,
          ∴f(2)<f(1),∴f(x)max=f(1)=a﹣(a2+1),
          綜上當(dāng)0<a≤時(shí),f(x)min=2a﹣2(a2+1)+aln2,f(x)max=f(1)=a﹣(a2+1),
          當(dāng)<a≤時(shí),f(x)min=﹣a﹣﹣alna,f(x)max=f(1)=a﹣(a2+1).
          【解析】(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在[ , e]上單調(diào)遞減,等價(jià)為f′(x)≤0在[ , e]上恒成立,利用參數(shù)分離法進(jìn)行求最值恒成立即可,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (Ⅱ)當(dāng)a時(shí),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),研究函數(shù)的單調(diào)性與最值之間的關(guān)系即可求f(x)在[1,2]上的最大值和最小值。
          【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ex , 其中e是白然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…
          (I)若函數(shù)φ(x)=f(x)﹣求函數(shù)φ(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅱ)設(shè)直線l為函數(shù)f(x)的圖象上一點(diǎn)A(x0 , f(x0)處的切線,證明:在區(qū)間(1,+∞)上存在唯一的x0 , 使得直線l與曲線y=g(x)相切.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,已知AB是圓O的直徑,C、D是圓O上的兩個(gè)點(diǎn),CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG.
          (Ⅰ)求證:C是劣弧的中點(diǎn);
          (Ⅱ)求證:BF=FG.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如果執(zhí)行程序框圖,且輸入n=6,m=4,則輸出的p=( 。

          A.240
          B.120
          C.720
          D.360

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知平面上的三點(diǎn)P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0).

          (1)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

          (2)設(shè)點(diǎn)P、F1、F2關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)分別為P′、F1′、F2′,求以F1′、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】下列命題中正確的是(
          A.命題p:“?x0∈R, ”,則命題?p:?x∈R,x2﹣2x+1>0
          B.“l(fā)na>lnb”是“2a>2b”的充要條件
          C.命題“若x2=2,則 ”的逆否命題是“若 ,則x2≠2”
          D.命題p:?x0∈R,1﹣x0<lnx0;命題q:對?x∈R,總有2x>0;則p∧q是真命題

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】《九章算術(shù)》中“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第6節(jié)的容積為( )

          A. B. C. D.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1 , 則下列說法不正確的是(
          A.若點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動時(shí),三棱錐A﹣D1PC的體積不變
          B.若點(diǎn)P是平面A1B1C1D1上到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn),則P點(diǎn)的軌跡是過D1點(diǎn)的直線
          C.若點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動時(shí),直線AP與平面ACD1所成角的大小不變
          D.若點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動時(shí),二面角P﹣AD1﹣C的大小不變

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】在銳角△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,若A滿足2cos2A+cos(2A+ )=﹣
          (Ⅰ)求A的值;
          (Ⅱ)若c=3,△ABC的面積為3 ,求a的值.

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          同步練習(xí)冊答案