Question

已知函數(shù).
（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；  
（2）設(shè)，求在上的最大值；
（3）試證明：對(duì)任意，不等式都成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）在上的最大值為；
(3) 證明過(guò)程詳見試題解析.

試題分析：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為0，即可求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分時(shí)，時(shí)，三種情況進(jìn)行討論，即可求在上的最大值；(3) 把證明過(guò)程轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題即可.
試題解析：（1）解：（1）函數(shù)的定義域是．由已知．
令，得．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由（1）可知當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以．
當(dāng)，即時(shí)，．
綜上所述，
（3）由（1）知當(dāng)時(shí)．所以在時(shí)恒有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．因此對(duì)任意恒有．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044916335515.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，即．因此對(duì)任意，不等式．