Question

設(shè)z是虛數(shù)，ω=z+

1

z

，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；
（2）設(shè)u=

1-z

1+z

，求證：u為純虛數(shù)．

Answer 1

設(shè)z=x+yi（x，y∈R，y≠0）
（1）ω=z+

1

z

=(x+

x

x2+y2

)+(y-

y

x2+y2

)i
∵-1＜ω＜2，∴y-

y

x2+y2

=0，
又∵y≠0，∴x²+y²=1即|z|=1
∵-1＜x+

x

x2+y2

＜2?-1＜2x＜2，
∴-

1

2

＜x＜1
即z的實(shí)部的取值范圍是(-

1

2

，1)
（2）u=

1-z

1+z

=

(1-x-yi)(1+x-yi)

(1+x)2+y2

=

(1-x2-y2)-2yi

(1+x)2+y2

∵x²+y²=1，∴u=

-2y

(1+x)2+y2

i
又∵y≠0，
∴u是純虛數(shù)．