Question

設(shè)z是虛數(shù)，ω=z+

1

z

，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；
（2）設(shè)u=

1-z

1+z

，求證：u為純虛數(shù)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出復(fù)數(shù)z，寫出ω的表示式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算，把ω整理成最簡(jiǎn)形式，根據(jù)所給的ω的范圍，得到ω的虛部為0，實(shí)部屬于這個(gè)范圍，得到z的實(shí)部的范圍．
（2）根據(jù)設(shè)出的z，整理u的代數(shù)形式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算，整理成最簡(jiǎn)形式，根據(jù)上一問做出的復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)是1，得到u是一個(gè)純虛數(shù)．

解答：解：設(shè)z=x+yi（x，y∈R，y≠0）
（1）ω=z+

1

z

=(x+

x

x2+y2

)+(y-

y

x2+y2

)i
∵-1＜ω＜2，∴y-

y

x2+y2

=0，
又∵y≠0，∴x²+y²=1即|z|=1
∵-1＜x+

x

x2+y2

＜2?-1＜2x＜2，
∴-

1

2

＜x＜1
即z的實(shí)部的取值范圍是(-

1

2

，1)
（2）u=

1-z

1+z

=

(1-x-yi)(1+x-yi)

(1+x)2+y2

=

(1-x2-y2)-2yi

(1+x)2+y2

∵x²+y²=1，∴u=

-2y

(1+x)2+y2

i
又∵y≠0，
∴u是純虛數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算，本題是一個(gè)運(yùn)算量比較大的問題，題目的運(yùn)算比較麻煩，解題時(shí)注意數(shù)字不要出錯(cuò)．