Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,向量j=(0,1),△OFP的面積為2,且·=t,=+j.

(1)設(shè)4＜t＜4,求向量與的夾角θ的取值范圍;

(2)設(shè)以原點(diǎn)O為中心,對(duì)稱(chēng)軸在坐標(biāo)軸上,以F為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,且||=c,t=(-1)c²,當(dāng)||取最小值時(shí),求橢圓的方程.

Answer 1

思路解析:此題是向量知識(shí)與圓錐曲線(xiàn)結(jié)合的一個(gè)問(wèn)題,高考試題常用向量給出條件,運(yùn)用向量知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化為圓錐曲線(xiàn)的有關(guān)問(wèn)題是�？嫉乃枷敕椒�.設(shè)求向量與的夾角θ的取值范圍由面積公式及·=t,可求出tanθ的范圍.(2)中設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),用c來(lái)表示||,求出當(dāng)c取某值時(shí)的||的最小值,進(jìn)而求橢圓的方程.

解:(1)由2=||·||·sinθ,得?||·||=,

由cosθ=,得tanθ=.

∵4＜t＜4,∴1＜tanθ＜.

∵θ∈［0,π］,∴夾角θ的取值范圍是(,).

(2)設(shè)P(x₀,y₀),則=(x₀-c,y₀),=(c,0).

∴·=(x₀-c,y₀)·(c,0)=(x₀-c)c=t=(-1)c².

∴x₀=c.

S_△OFP=||·|y₀|=2,

∴y₀=±.

又由,

得x₀=c.

∴||=.

∴當(dāng)且僅當(dāng)c=,即c=2時(shí),?||取最小值2,

此時(shí), =(2,±2),

∴=(2,2)+(0,1)=(2,3)或=(2,-2)+(0,1)=(2,-1).

橢圓長(zhǎng)軸2a==8,

∴a=4,b²=12或2a=.

∴a=,b²=.

故所求橢圓方程為=1或=1.