Question

已知圓C的圓心在直線(xiàn)y=x+1上，且過(guò)點(diǎn)A（1，3），與直線(xiàn)x+2y-7=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l：ax-y-2=0（a＞0）與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)圓心C（a，b），由圓C的圓心在直線(xiàn)y=x+1上，且過(guò)點(diǎn)A（1，3），與直線(xiàn)x+2y-7=0相切，建立方程組求出圓心和半徑，由此能求出圓C的方程．
（2）把直線(xiàn)y=ax-2代入圓的方程，得（a²+1）x²-6ax+4=0，由直線(xiàn)ax-y+5=0交圓于A，B兩點(diǎn)，知5a²-4＞0，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)圓心C（a，b），
∵圓C的圓心在直線(xiàn)y=x+1上，且過(guò)點(diǎn)A（1，3），與直線(xiàn)x+2y-7=0相切，
∴，
解得a=0，b=1，
∴圓心C（0，1），圓半徑r=|AC|==，
∴圓C的方程為x²+（y-1）²=5．（8分）
（2）把直線(xiàn)ax-y-2=0，即y=ax-2代入圓的方程x²+（y-1）²=5，
消去y整理，得（a²+1）x²-6ax+4=0，
∵直線(xiàn)ax-y+5=0交圓于A，B兩點(diǎn)，
∴△=36a²-16（a²+1）＞0．即5a²-4＞0，
由于a＞0，解得a＞．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，+∞）． （15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．