Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，證明：；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）依題意，只要證，記，求得，分和討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到結(jié)論；

（Ⅱ）由 ，記，，（1）當(dāng)時(shí)，得到存在唯一，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，再分和和三種情形討論，得到地產(chǎn)是有一個(gè)極大值點(diǎn) 和一個(gè)極小值點(diǎn)，（2）當(dāng)時(shí)，顯然在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，綜上所述即可得到結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）依題意，因?yàn)?/span>，只要證，

記，，則.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以，即，原不等式成立.

（Ⅱ）

，

記，.

（1）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，

所以存在唯一，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，

①若，即時(shí)，對(duì)任意，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).

②若，即時(shí)，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，.即在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.

此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)-1.

③若，即時(shí)，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，.即在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.

此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)-1和一個(gè)極小值點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，，所以，顯然在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

綜上可得：①當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn).