Question

（21）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，A、B是熱線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn)，且過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，設(shè)其交點(diǎn)為M。

       （I）證明為定值；

       （II）設(shè)的面積為S，寫(xiě)出的表達(dá)式，并求S的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知條件，得F（0，1），

設(shè)

即得      

∴          

將①式兩邊平方并把代入得

         ③

解②、③式得且有

         

拋物線(xiàn)方程為

求導(dǎo)得

所以過(guò)拋物線(xiàn)上A、B兩點(diǎn)的切線(xiàn)方程分別是

         

即       

解出兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為

                 

    所以     

                      

所以為定值，其值為0。      

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S=|AB||FM|。

       |FM|

          

因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)y= -1的距離，所以

        |AB|=|AF|+|BF|

          

于是   

                

由    

且當(dāng)=1時(shí)，S取得最小值4.