Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，討論的范圍，令求出增區(qū)間，令求出減區(qū)間。

（2）由題意可知，在上有解，討論的范圍，判斷的單調(diào)性和零點個數(shù)，得出結(jié)論。

（1）函數(shù)的定義域為．，

①當(dāng)即時，

因為時，，

所以的單調(diào)增區(qū)間為．

②當(dāng)，即時，令，得．

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為．

綜上，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，

減區(qū)間為．

（2）因為，

所以．

令，．

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點，

則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點．

又，所以在內(nèi)有唯一零點．

且時，；時，．

則在內(nèi)為減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù)．

又因為且在內(nèi)存在零點，

所以解得．

顯然在內(nèi)有唯一零點，記為．

當(dāng)時，，時，，所以在點兩側(cè)異號，即在點兩側(cè)異號，為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)唯一極值點．

當(dāng)時，，又，在內(nèi)成立，

所以在內(nèi)單調(diào)遞增，故無極值點．

當(dāng)時，，，易得時，，故無極值點．

所以當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點．