Question

【題目】將2006表示成5個正整數(shù)之和. 記. 問：

（1）當(dāng)取何值時，S取到最大值；

（2）進(jìn)一步地，對任意有，當(dāng)取何值時，S取到最小值. 說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)根據(jù)條件，判斷S的值是有界集，故必存在最大值與最小值，且S取到最大值，則必有，從而可求結(jié)論；

(2)當(dāng)，且時，只有三種情況，后兩種情形是由第一組作調(diào)整下得到的，結(jié)合（1）中的分析，可得結(jié)論.

（1） 首先這樣的S的值是有界集，故必存在最大值與最小值。 若, 且使 取到最大值，則必有

(*)

事實上，假設(shè)（*）不成立，不妨假設(shè)。則令，,(),有，。

將S改寫成

同時有 。

于是有.這與S在時取到最大值矛盾.所以必有 . 因此當(dāng)取到最大值.

（2）當(dāng)且時，只有

402， 402， 402， 400， 400；

402， 402， 401， 401， 400；

402， 401， 401， 401， 401； 三種情形滿足要求。而后面兩種情形是在第一組情形下作，調(diào)整下得到的。根據(jù)上一小題的證明可以知道，每調(diào)整一次，和式 變大. 所以在情形取到最小值.