Question

【題目】已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：在定義域內(nèi)存在使得成立。

（1）函數(shù)是否屬于集合M？請說明理由；

（2）函數(shù)M，求a的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，證明：函數(shù)M。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）直接進行驗證或用反證法求解；（2）由M得到方程在定義域內(nèi)有解，然后轉(zhuǎn)化成二次方程的問題求解；（3）驗證函數(shù)滿足即可得到結(jié)論成立．

（1）．理由如下：

假設(shè)，

則在定義域內(nèi)存在，使得成立，

即，

整理得，

∵方程無實數(shù)解，

∴假設(shè)不成立，

∴．

（2）由題意得，

在定義域內(nèi)有解，

即在實數(shù)集R內(nèi)有解，

當(dāng)時，，滿足題意；

當(dāng)時，由，得，

解得且，

綜上，

∴實數(shù)a的取值范圍為．

（3）證明：∵，

∴，

又函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，

設(shè)交點的橫坐標(biāo)為a，則，

∴，其中，

∴ 存在使得成立，

∴．