Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁＞0，公差d＞0，前n項(xiàng)和為S_n，設(shè)m，n，p∈N^*，且m+n=2p
（1）求證：S_n+S_m≥2S_p；
（2）求證：S_n•S_m≤（S_p）²；
（3）若S1005=1，求證：

2009

n=1

1

Sn

≥2009．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得Sn=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，代入S_n+S_m，利用m+n=2p可證
（2）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得Sn=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，代入S_nS_m，利用m+n=2p可證
（3）由（2）可得

Sp

Sm

≥

Sn

Sp

，從而有

2009

n=1

1

Sn

=

S1005

S1

+

S1005

S2

+

S1005

S2009

=

S2009

S1005

+

S2008

S1005

+

S1

S1005

，再利用（1）的結(jié)論可證．

解答：證明：（1）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得Sn=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，
∴S_n+S_m=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n+ 

d

2

m2+(a1-

d

2

)m=

d

2

(n2+m2)+( m+n)a1-

d

2

(m+n)≥2S_p

（2）S_nS_m=[

d

2

n2+(a1-

d

2

)n][

d

2

m2+(a1-

d

2

)m]≤

d2

4

p2+

d

2

(a1-

d

2

)p3+(a1-

d

2

)2p2，
∴S_nS_m≤（S_p）²

(3)

2009

n=1

1

Sn

=

S1005

S1

+

S1005

S2

+

S1005

S2009

=

S2009

S1005

+

S2008

S1005

+

S1

S1005

≥2009

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及不等式的基本性質(zhì)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．