Question

【題目】如圖，在梯形中，，，為的中點，是與的交點，將沿翻折到圖中的位置，得到四棱錐．

（1）求證：；

（2）當，時，求到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）在圖中，證明四邊形為菱形，可得出，由翻折的性質(zhì)得知在圖中，，，利用直線與平面垂直的判定定理證明出平面，可得出，并證明出四邊形為平行四邊形，可得出，由此得出；

（2）解法一：由（1）可知平面，結合，可得出平面，由此得出點到平面的距離為的長度，求出即可；

解法二：證明出平面，可計算出三棱錐的體積，并設點與面的距離為，并計算出的面積，利用三棱錐的體積和三棱錐的體積相等計算出的值，由此可得出點到平面的距離.

（1）圖中，在四邊形中，，，

四邊形為平行四邊形.

又，四邊形為菱形，，，

在圖中，，，又，面．

平面，.

又在四邊形中，，，

四邊形為平行四邊形，，；

（2）法一：由（1）可知面，且，平面，

的長度即為點到平面的距離，

由（1）已證四邊形為平行四邊形，所以，

因此，點到平面的距離為；

解法二：連接，，，，

，，，.

又，平面．

設點與面的距離為，，

即，，，．