Question

（本小題滿(mǎn)分14分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，經(jīng)過(guò)其左焦點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)（I）求橢圓的方程；
（II）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得恒為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（I）設(shè)橢圓的方程為.
由題意，得，解得，所以.   …………………2分
所求的橢圓方程為.      …………………………………………………4分
（II）由（I）知. 假設(shè)在軸上存在一點(diǎn)，使得恒為常數(shù)
①當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為，、.
由得.   ……………………………5分
所以，.      ………………………………………6分



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因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823191939062503.gif" style="vertical-align:middle;" />是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有，即.      ……………9分
此時(shí).   …………………………………………………11分
②當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，
當(dāng)時(shí)，亦有.    ……………………………13分
綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使得恒為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為.
……………………………14分

略