Question

已知：函數(shù)，數(shù)列{a_n}對(duì)n≥2，n∈N總有；
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求和：S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1
（3）若數(shù)列{b_n}滿足：①{b_n}為的子數(shù)列（即{b_n}中的每一項(xiàng)都是的項(xiàng)，且按在中的順序排列）②{b_n}為無(wú)窮等比數(shù)列，它的各項(xiàng)和為．這樣的數(shù)列是否存在？若存在，求出所有符合條件的數(shù)列{b_n}，寫出它的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據(jù)已知條件整理得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，進(jìn)而得到數(shù)列的規(guī)律，即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求和，最后再合并即可得到結(jié)論；
（3）先設(shè)，公比，得到（k，p∈N^*）對(duì)任意的n∈N^*均成立，故m是正奇數(shù)，又S存在，所以m＞1；再對(duì)m的取值進(jìn)行討論，即可得到所有符合條件的數(shù)列{b_n}，寫出它的通項(xiàng)公式．
解答：解：（1）由，又（2分）
所以，{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即（n∈N^*）（4分）
（2）當(dāng)n為偶數(shù)，
所以 （6分）
當(dāng)n為奇數(shù)，則n-1為偶數(shù)，（8分）
綜上：（10分）
（3）設(shè)，公比，則（k，p∈N^*）對(duì)任意的n∈N^*均成立，故m是正奇數(shù)，又S存在，所以m＞1（12分）
當(dāng)m=3時(shí)，，此時(shí)，，成立                 （13分）
當(dāng)m=5時(shí)，，此時(shí)故不成立                   （14分）
m=7時(shí)，，此時(shí)，，成立                    （15分）
當(dāng)m≥9時(shí)，，由，得，設(shè)，則，又因?yàn)閗∈N^*，所以k=1，2，此時(shí)b₁=1或分別代入，得到q＜0不合題意（18分）
由此，滿足條件（3）的{b_n}只有兩個(gè)，即或（20分）
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)列知識(shí)的綜合考查．其中涉及到數(shù)列的遞推式，以及數(shù)列的求和，屬于綜合性題目，考查計(jì)算能力以及分析能力．