Question

（2013•嘉定區(qū)二模）如圖，已知點(diǎn)F（0，1），直線m：y=-1，P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作m的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）（理）過軌跡C的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)M作直線m′與軌跡C交于不同兩點(diǎn)A、B，且線段AB的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)為D（0，y₀），求y₀的取值范圍；
（3）（理）對于（2）中的點(diǎn)A、B，在y軸上是否存在一點(diǎn)D，使得△ABD為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），由題意得Q（x，-1），即可得到

QP

，

QF

，

FP

，

FQ

，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得出動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）利用（1）的軌跡方程即可得到準(zhǔn)線方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)直線m'的方程為y=kx-1（k≠0），與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)和垂直平分線的性質(zhì)即可得到線段AB的垂直平分線的方程即可；
（3）利用（2）的結(jié)論，點(diǎn)到直線的距離公式及等邊三角形的判定即可得出．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由題意，Q（x，-1），

QP

=(0 ， y+1)，

QF

=(-x ， 2)，

FP

=(x ， y-1)，

FQ

=(x ， -2)，
由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，得2（y+1）=x²-2（y-1），
化簡得x²=4y．所以，動點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²=4y．
（2）軌跡C為拋物線，準(zhǔn)線方程為y=-1，
即直線m，∴M（0，-1），
設(shè)直線m'的方程為y=kx-1（k≠0），由

y=kx-1 x2=4y

 得x²-4kx+4=0，
由△=16k²-16＞0，得k²＞1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，
所以線段AB的中點(diǎn)為（2k，2k²-1），
所以線段AB垂直平分線的方程為（x-2k）+k[y-（2k²-1）]=0，
令x=0，得y0=2k2+1．
因?yàn)閗²＞1，所以y₀∈（3，+∞）．
（3）由（2），x₁+x₂=4k，x₁x₂=4，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)(16k2-16)

=4

(k2+1)(k2-1)

．
假設(shè)存在點(diǎn)D（0，y₀），使得△ABD為等邊三角形，
則D到直線AB的距離d=

3

2

|AB|．
因?yàn)镈（0，2k²+1），所以d=

|y0+1|

1+k2

=

2(k2+1)

k2+1

=2

k2+1

，
所以2

k2+1

=2

3

k2+1

•

k2-1

，解得k2=

4

3

．
所以，存在點(diǎn)D(0 ， 

11

3

)，使得△ABD為等邊三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)、向量的數(shù)量積、準(zhǔn)線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、等邊三角形的定義、點(diǎn)到直線的距離公式、線段的垂直平分線及對稱等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力．